математика

Даже в школьных учебниках встречаются математические задачи с длинным условием. В прикладной математике такое постоянно. При этом задачи может и легкие, но выглядят страшно, и переписывать лень. Поэтому эксперты приняли некоторые сокращения как стандарт для частых обозначений.

Школьники допускают ошибки из-за того, что неправильно понимают запись или действую быстро, не обдумывая. Проблемное сокращение — степень часто используемых функций. Когда надо возвести функцию в степень, её оборачивают в скобки и выносят показатель (степень) за них. Для тригонометрических и логарифмических функций есть сокращение, чтоб не писать много скобок, который усложняют чтение:

(sinx)² = sin²x
(log_ab)² = log²_ab

Ошибка возникает в логарифмах, когда функция разбивается на сумму или разность нескольких. Невнимательный школьник запишет разложение квадратного логарифма как сумму или разность квадратных логарифмов. Правильно: получится квадрат суммы или разности.

log²₃9a ≠ log²₃9 + log²₃a
log²₃9a = (log₃9 + log₃a)²

Еще такая запись мешает правильно работать со степенями внутренности и основания логарифма. Тут тоже надо обратить внимание на степень самой функции и возвести выносимую часть в эту степень.

log²₃a³ ≠ 3log²₃a
log²₃a³ = (3log₃a)²

Пока привычка не сформировалась лучше записывать степень как у нормальной функции — за скобками, — либо разбивать на произведение нескольких. Не получится забыть про степень, если она стоит отдельно, за скобкой — хочется сперва разложить внутреннюю часть, а потом поработать с показателем.

И еще о степенях. Вроде бы уяснили, что маленькая цифра наверху, сбоку от функции означает степень. Но в случаи обратной функции «-1» рядом со знаком «f» не рассматривается как показатель и отдельная часть. Знак функции и единичка с минусом — один символ, обозначающий обратную функцию.

У Савватеева — крутого русского математика, который занимается теорией игр и сложными задачами — вышло видео о логике математиков. Он запустил серию видео с красивой подачей: крутые превью и объяснение на прозрачной доске. В видео Алексей упомянул утверждение «Если Земля плоская, то все крокодилы красные» и показал на этом примере принцип логики. Объяснение показалось недостаточно раскрытым. Попробую углубиться в этот пример.

Рассмотрим четыре случая, которые я обозначу через числа. 1 — утверждение верно, 0 — неверно.

Похоже на бинарный код. Рассмотрим каждый случай отдельно. При этом объединю первые два случая.

• Первый и второй случаи: Земля не плоская (общая ситуация) и не все крокодилы красные (в первом случаи) или все крокодилы красные (во втором случаи). Я утверждаю, что «если Земля плоская, то …», — то есть я ничего не говорю о случаи не плоской Земли. Я не лгал, если не говорил об этом. Значит утверждение правдиво.
• Третий случай: Земля плоская, но не все крокодилы красные. Я пообещал в утверждении, что если Земля плосокая, то все крокодилы будут красными. Условие соблюдено, но результат не совпал. Значит я соврал. Утверждение неверно.
• Четвертый случай: Земля плоская и все крокодилы. Как и говорил. Условие соблюдено, результат совпал. А значит не соврал и утверждение верно.

Покажу еще один пример: я пообещал ребенку, что если Земля плоская, то крокодилы красные. В первом случаи ребенок не расстроен, потому что он так и ожидал. Во втором случаи он тоже не расстроен, а даже радуется, я не обещал, но это случилось. В третьем случаи я пообещал, но этого не случилось — я обманул, ребенок расстроен. В четвертом случаи ребенок тоже рад.

Перепишу схему с выводами:

То есть видно, что надо посмотреть, соврал ли я. Самыми непонятными являются первые два случая, но о такой ситуации, когда Земля не плоская, я ничего не говорил, я некомпетентен в неплоских Землях, а значит и не соврал. Утверждение правдиво там, где не затрагивает случай. Отсюда видно, что математики не решили принять такой вывод, потому что так им «удобнее» считать, а потому, что здесь логическая основа.

Вот учишься в школе, складываешь числа, находишь площадь фигуры, решаешь уравнения, извлекаешь корни, а потом начинается что-то сложное. В школьной математике самая близкая по уровню рассуждений к высшей математике тема — параметры. Это как будто взяли все, что было раньше, и добавили еще одну переменную. Лучшее описание:

«Параметр — это буква, которая «никому ничем не обязана» и может принимать любые допустимые значения. Структура решений уравнения или неравенства зависит от значений параметра; те или иные аспекты этой зависимости и предстоит выяснить в каждой конкретной задаче»
Игорь Яковлев, math us

Чтоб решать задачи с параметрами, надо понимать, что такое необходимые и достаточные условия.

Необходимые условия

Сразу к примеру. Чтобы фигура считалась квадратом, она должна быть ромбом, но это еще не все, нужно еще условие того, что все углы прямые. Понимать это можно так: квадрат не может не быть ромбом — он всегда ромб, но ромб не всегда квадрат.

Сложнее понятие необходимости становится с неравенствами:

Для того, чтобы выполнялось неравенство x^2 − 7x + 6 < 0, необходимо, чтобы выполнялось неравенство |x − 3| < a.

В данном случае мы будем иметь решение первого неравенства — отрезок на числовой прямой — и второе неравенство, которое будет содержать больший промежуток, чем первое. То есть, чтоб x принадлежал меньшему промежутку (1), надо, чтоб он для начала принадлежал большему (2), в котором находится меньший (1). Но данного недостаточно, нужно еще больше ограничить промежуток до меньшего, сузить его.

Достаточные условия

Достаточные условия — это когда условия достаточно, но оно не обязательно должно быть, можно и по-другому. Например, если существо говорит на английском, то оно точно человек. Но чтоб быть человеком, необязательно говорить на английском, можно и на китайском. Разницу условий на схожем примере можно заметить отсюда:

Необходимо, чтоб у существа были зубы, чтоб оно считалось человеком, но зубы есть не только у человека, поэтому надо еще больше уточнить, как в большем ограничении промежутка в примере с неравенством. Но если существо говорит на английском, то сомнений нет, что оно — человек.

Условие прошлой задачи с неравенствами можно перевернуть:

Для того, чтобы выполнялось неравенство |x − 3| < a, достаточно, чтобы выполнялось неравенство x^2−7x+6 < 0.

То есть, если x принадлежит меньшему внутреннему промежутку, то за рамки большего он точно не выйдет.

Имеем общее правило для условий задач: 1 необходимо для 2 = 2 достаточно для 1. Для неравенств можно перефразировать так: если неравенства 1 достаточно для неравенства 2, то все решения 1-го содержатся во 2-ом.